Théorème du moment cinétique:
Dans un référentiel galileen la variation temporelle du moment cinétique \(L_O\) est égale à la résultante des moments des forces s'éxercant sur le point matériel:$$\frac{d\vec L_O}{dt}={{\mathcal {\vec M_0}(\vec F)}}$$
$$\begin{align}&\vec L_0=\vec{OM}\wedge m\vec v\\ &\frac{d\vec L_0}{dt}=\frac{d(\vec{OM}\wedge m\vec v )}{dt}\\ &=\vec v\wedge m\vec v+\vec{OM}\wedge\frac{dm\vec v}{dt}\\ &=\vec{OM}\wedge\vec F=\mathcal M_O(\vec F)\end{align}$$
Bilan du moment cinétique:
\(\vec L_0\) entre \(t\) et \(t+dt\):
\(\frac{\vec L_0(t+dt)-\vec L_0(t)}{dt}=\frac{d\vec L_0}{dt}= \vec{\mathcal M}(\vec F_{ext})\)
Conservation du moment cinétique
Tout comme \(\vec p\) et l'énergie, on parle de la conservation du moment cinétique \(\vec L_0\)
- Pour un système isolé (pseudo-isolé):
\(\vec p\), l'énergie et \(\vec L_0\) se conservent dans un référentiel Galiléen
- Si \(\vec L_0\) se conserve \(\implies \quad\frac{d\vec L_0}{dt}=\vec 0\):
\(\implies\vec{\mathcal M}(\vec F)=\vec 0\)
\(\implies \vec{OM}\wedge\vec F=\vec 0\)
Cela est possible quand:
- La résultante des forces est nulle \(\implies\) système isolé / pseudo-isolé
- \(\vec OM\parallel\vec F\) \(\implies\) \(\vec F\) est une force centrale
Force centrale
Etablir l'équation différentielle : \(\ddot \theta=-\omega^2\theta\) en utilisant le théorème du moment cinétique.
\(\longrightarrow\) Réponse:
$$\begin{align}&\text{- M est un point matériel de masse m}\\ &\text{- Référentiel terrestre supposé Galiléen}\\ &\text{- Base intrinsèque }(\vec e_n,\vec e_t,\vec k)\\ &\text{- Frottements négligés}\\ &\\ & \overrightarrow{OM}=-l.\vec e_n\\ &\vec v=l.\dot\theta.\vec e_t\\ &\\ &\text{Moment cinétique:}\\ &\vec L_0=\overrightarrow{OM}\wedge\vec p\\ &\vec L_0=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ ml^2\dot\theta\end{pmatrix}\\ &\vec L_0=ml^2\dot\theta.\vec k\\ &\frac{d\vec L_0}{dt}=ml^2\ddot\theta.\vec k\\ &\\ &\vec{\mathcal M}=\overrightarrow{OM}\wedge\vec F=\overrightarrow{OM}\wedge\vec T+\overrightarrow{OM}\wedge m\vec g\\ &\vec{\mathcal M}=-mgl\sin\theta.\vec k\\ &\\ &\text{Aux petits angles: }\sin\theta \simeq\theta\\ &\vec{\mathcal M}=-mgl\theta.\vec k\\ &\\ &\text{Théroème du moment cinétique:}\\ &\frac{d\vec L_0}{dt}=\vec{\mathcal M}(\vec F)\\ &\implies ml^2\ddot\theta.\vec k=-mgl\theta.\vec k\\ &\\ &\ddot\theta+\omega_0^2.\theta\qquad\text{avec }\omega_0^2=\frac{g}{l}\end{align}$$
Théorème du moment cinétique (non galiléen)
Théorème du moment cinétique de Koenig
Théorème du moment cinétique (N corps)
Théorème du moment cinétique dans un référentiel barycentrique
Moment cinétique d'un solide indéformable en rotation
On définit le moment cinétique d'un solide indéformable en rotation selon le Moment d’inertie:
$$L_{\Delta}={{J_{\Delta}\omega}}$$
Avec:
- \(J_\Delta\): Moment d’inertie
- \(\omega\): vitesse angulaire
